贝叶斯定理（Bayes’ Theorem）
贝叶斯定理（Bayes’ Theorem）是概率论中一个非常重要的定理，用于在已知结果的情况下推断原因（也就是“后验概率”）。
一句话理解
贝叶斯定理告诉我们如何根据已有信息更新对某事件的信念。
数学表达式
对于两个事件 \(A\) 和 \(B\)，只要 \(P(B) > 0\)，贝叶斯定理公式如下：
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]
其中：
- \(P(A)\)：先验概率，事件 A 发生的原始概率；
- \(P(B|A)\)：似然度，在 A 发生的条件下，观察到 B 的概率；
- \(P(B)\)：边缘概率，B 发生的总概率；
- \(P(A|B)\)：后验概率，在 B 发生的前提下，A 发生的概率。
通俗理解
想象一个医生看到病人有发烧的症状（B），他希望知道这个人是否患有某种病（A）。
- \(P(A)\)：这个病在人群中的患病率；
- \(P(B|A)\)：有这种病的人发烧的概率；
- \(P(B)\)：不管是否得病，总体发烧的概率；
- \(P(A|B)\)：某人已经发烧了，他患这种病的可能性。
示例：疾病检测
假设：
- 某病患病率 \(P(\text{病}) = 1\% = 0.01\)
- 检测准确率：
- 如果有病，检测呈阳性 \(P(\text{阳性}|\text{病}) = 99\%\)
- 如果无病，检测误报率 \(P(\text{阳性}|\text{无病}) = 5\%\)
问：一个人检测阳性后，他实际患病的概率是多少？
解：
设：
- \(A\)：有病
- \(B\)：检测为阳性
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]
计算 \(P(B)\)：
\[ P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\text{无病})P(\text{无病}) \\ = 0.99 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594 \]
代入贝叶斯公式：
\[ P(A|B) = \frac{0.99 \times 0.01}{0.0594} \approx 0.1667 \]
所以，即使检测呈阳性，患病概率也只有 约 16.67%！
应用场景
- 医学诊断
- 垃圾邮件识别（朴素贝叶斯）
- 金融风控
- 机器学习中的贝叶斯推断
- 自然语言处理（情感分析、文本分类）