二次规划问题（Quadratic Programming, QP）

二次规划问题（Quadratic Programming, QP） 从直观理解到数学定义、例子、应用场景等都讲一遍。

一、什么是二次规划？

二次规划（Quadratic Programming）是一类 目标函数是二次函数、但 约束是线性 的优化问题。

可以理解为：

“在线性约束条件下，找到一个变量组合，使一个二次函数取得最小（或最大）值”。

二、数学形式

标准形式如下：

\[ \begin{aligned} &\min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\ &\text{subject to:} \\ &\quad A x \le b \\ &\quad E x = d \end{aligned} \]

其中：

• \(x \in \mathbb{R}^n\)：决策变量向量
• \(Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)：对称正定或半正定矩阵（对应目标函数的“二次项”）
• \(c \in \mathbb{R}^n\)：线性项系数
• \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}, b \in \mathbb{R}^m\)：不等式约束
• \(E \in \mathbb{R}^{p \times n}, d \in \mathbb{R}^p\)：等式约束

三、图像直观

如果你只考虑二维的情况（\(x \in \mathbb{R}^2\)），那么：

• 目标函数 \(\frac{1}{2}x^T Qx + c^T x\) 是一个“碗状”或“马鞍形”曲面（取决于 \(Q\)）
• 约束构成一个多边形区域（线性不等式的交）
• 二次规划的目标就是：在这个线性区域中，找到曲面最低点

四、例子

例子：投资组合优化（Markowitz）

有3个资产，期望收益为 \(r\)，协方差矩阵为 \(\Sigma\)，目标是在固定收益水平下最小化风险（方差）：

\[ \begin{aligned} & \min_{w} \quad \frac{1}{2} w^T \Sigma w \\ & \text{subject to:} \quad r^T w \ge R_0 \\ & \quad \mathbf{1}^T w = 1, \quad w \ge 0 \end{aligned} \]

其中 \(w\) 是投资权重，\(R_0\) 是期望最低收益。

这个就是典型的 二次规划问题。

五、特殊情况：与线性规划的关系

• 当 \(Q = 0\) 时，目标函数退化为线性，变成线性规划（LP）
• 当 \(Q \succ 0\)（正定），问题是凸优化问题，可以找到全局最优解

六、常用求解器

• Python:
  • cvxpy, quadprog, scipy.optimize.minimize（带 'trust-constr' 方法）
• MATLAB:
  • quadprog
• R:
  • quadprog 包

七、应用场景

场景	描述
投资组合优化	在收益约束下最小化风险
支持向量机	最大间隔分类器中出现二次项
工业控制	模型预测控制（MPC）中的控制量优化
资源分配	有二次成本函数的工程优化问题

八、总结一句话：

二次规划 = 二次目标函数 + 线性约束 + 有限维变量空间的凸优化问题。

它是很多机器学习、工程、金融优化问题的核心工具之一。