《数学桥--对高等数学的一次观赏之旅》读书心得之二

发表于 2016-10-30 更新于 2024-02-29 分类于读书心得

接上篇：《数学桥--对高等数学的一次观赏之旅》读书心得之一

二、分析

分析是一门处理无穷的学科，例如微积分。

1、二项式定理

在初等代数中，二项式定理（英语：Binomial theorem）描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理，可以将两个数之和的整数次幂诸如\((x + y)^n\) 展开为类似 \(ax^by^c\) 项之和的恒等式，其中b、c均为非负整数且b + c = n。系数a是依赖于n和b的正整数。当某项的指数为0时，通常略去不写。例如：\[\left( x+y\right) ^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\]

其中n次方的系数满足杨辉三角的排列。

2、方程迭代解法

f(x)=0的解法：牛顿-拉弗森方法。迭代法，要考虑分形的曲线，有些序列不收敛，对初始值的选择非常敏感，这些就是混沌。

3、级数

序列的各项之和称为级数。

1）几何级数

2）调和级数

调和级数（英语：Harmonic series）是一个发散的无穷级数，表达式为： \[\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1} {n}=1+\dfrac {1} {2}+\dfrac {1} {3}+\dfrac {1} {4}+\ldots\]

交错调和级数 \[\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{n+1}} {n}=1-\dfrac {1} {2}+\dfrac {1} {3}-\dfrac {1} {4}+\ldots\] 这个级数可经交错级数判别法证明收敛。特别地，这个级数的和等于2的自然对数： \[1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.\]

广义化：P-级数 调和级数广义化的其中一个结果是p-级数，定义如下： \[ \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1} {k^{p}} \] 其中P是任意正实数。当p=1，p级数即调和级数。由积分判别法或柯西并项判别法（en:Cauchy condensation test（英文））可知p-级数在p>1时收敛（此时级数又叫过调和级数（over-harmonic series）），而在p ≤ 1时发散。当p>1时，p-级数的和即ζ(p)，也就是黎曼ζ函数在p的值。

3）幂级数

\[\begin{align*} f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}\\ &=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots \end{align*} \]

其中的c和\(a_{i}\) 都是常数。幂级数中的每一项都是一个幂函数，幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是“无穷次的多项式”。如果把 (x-c) 看成一项，那么幂级数可以化简为 \[\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\] 后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。幂级数可以确定收敛半径，将一个函数写成幂级数： \[\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\] 的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。 多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式\[f(x)=x^{2}+2x+3\] 可以写成标准形式的幂级数： \[f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots\] 也可以写成（c=1）： \[f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots\] 实际上，多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。等比级数的公式给出了对|x|<1，有 \[ \dfrac {1}{1-x}=\sum _{n=0}^\infty x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \] 是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开： \[e^{x}=\sum _{n=0}^\infty \frac {x^{n}}{n!}=1+x+\frac {x^{2}}{2!}+\frac {x^{3}}{3!}+\cdots \] 以及正弦函数（对所有实数x 成立）： \[\sin \left( x\right) =\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {\left( -1\right) ^{n}x^{2n+1}} {\left( 2n+1\right) !}=x-\dfrac {x^{3}} {3!}+\dfrac {x^{5}} {5!}-\dfrac {x^{7}} {7!}+\ldots \] 这些幂级数都属于泰勒级数。

ln（1+x）的展开式当且仅当-1<x<=1的时候收敛
expx的展开式对任意的x都收敛

4、收敛的判别方法

比率判别法
交错级数判别法
绝对收敛
比率判别法

5、函数极限

序列的极限是考虑离散的情况（考虑n趋于∞），需要把极限的概念推广到以实数为自变量的函数（考虑x趋于某个数a，f(x)趋于一个极限l）。实数极限的最为重要的应用是微积分理论。注意：在极限的工程当中，我们不需要知道f(x)在极限的点x=a的函数值。函数值在a点可以没有定义！

6、连续函数

在取极限点处取极限值为函数值的函数，称为在这个点是连续的。这种函数的图像可以笔不离纸的画出来。连续函数的函数仍然是连续函数。连续函数的重要定理是介值定理。例如知道函数值在某些点取负数、某些点取正数，那一定存在函数值取0的点（函数与x轴相交）。连续是可微的必要但非充分条件。

7、微分

可微是研究函数的光滑性概念，光滑意味着函数的图像中没有转折点。函数的瞬时变化率就是微分（导数），如果导数存在，也是改点的唯一的切线的斜率。

1）基本函数的导数.
所谓基本函数是指一些形式简单并且容易求出导数的函数。这些基本函数的导函数可以通过定义直接求出。常见的多项式函数就是基本函数之一。如果 \(\displaystyle f(x)=x^{r}\) ，其中r是非零实数，那么导函数 \[\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,\]
函数f的定义域可以是整个实数域，但导函数的定义域则不一定与之相同。例如当 \(\displaystyle r={\frac {1}{2}}\) 时： \[\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\tfrac {1}{2}}}\,\] 导函数的定义域只限所有正实数而不包括0。需要注意的是，不会有多项式函数的导数为 \(\displaystyle x^{-1}\) 。当 r = 0 时，常函数的导数是0。

底数为e的指数函数 \(\displaystyle y=e^{x}\) 的导数还是自身： \[\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}.\]

而一般的指数函数 \(\displaystyle y=a^{x}\) 的导数还需要乘以一个系数： \[\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.\]

自然对数函数的导数则是\[{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.} \]

同样的，一般的对数函数导数则还需要乘以一个系数：\[ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}} \]

三角函数的导数仍然是三角函数，或者由三角函数构成: \[\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin(x)=\cos(x)\;\qquad \qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}.\] \[\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cos(x)=-\sin(x)\qquad \qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}.\] 反三角函数的导数则是无理分式: \[{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\qquad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}.} \]

2）微分中值定理

在实分析中，中值定理（mean value theorem）描述了连续光滑曲线在两点之间的光滑性：令 \({\displaystyle f(x)}\) 为连续且光滑，任取其上两点 \({\displaystyle (a,f(a))}\) 与 \({\displaystyle (b,f(b))}\) ， a < b，那么在这两端点之间必定存在一点 \({\displaystyle (c,f(c)),a<c<b}\) ，使得过c的切线斜率等于该二端点割线的斜率，即 \[{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}\] 连续函数任二点之间的连续性，则由介值定理来描述。
中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。

3）洛必达法则

0/0型不定式极限
若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
⑴ \({\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=\lim _{x\to c}{g(x)}=0}\)
⑵ 在点C的某去心邻域内两者都可导，且\({\displaystyle g'(x)\neq 0}\) ；
⑶ \(\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=A\) （A可为实数，也可为 ±∞ ），
则: \[{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} =A\]

例如：x/sin(x)的在0点的极限是1/cos(0)=1

4）求导链式法则
链式法则（chain rule），是求复合函数导数的一个法则。设 f和g为两个关于 x可导函数，则复合函数\({\displaystyle (f\circ g)(x)}\) 的导数 \({\displaystyle (f\circ g)'(x)}\) 为： \[{\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).} \]

5）导数的四则运算法则
①（u±v)'=u'±v'
②（uv)'=u'v+uv'
③（u/v)'=(u'v-uv')/v\(^2\)

8、积分

用面积来定义积分！
如果一个函数f(x)在实轴的一个区间I的最大下和和最小上和等于同一个数，那么我们说这个函数在I上是可积的。那个数称为曲线下放区域的面积，记做： \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \] 求导和积分是互逆的过程。
微积分基本定理： 积分的另外一个本质就是求和。
定积分与不定积分的区别：

不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子）
定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字）
一个实变函数在区间[a,b]上定积分是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

定积分： 不定积分：
在微积分中，一个函数 \({\displaystyle {\begin{smallmatrix}f\end{smallmatrix}}}\) 的不定积分，也称为原函数或反导数，是一个导数等于 \({\displaystyle {\begin{smallmatrix}f\end{smallmatrix}}}\) 的函数 \({\displaystyle {\begin{smallmatrix}F\end{smallmatrix}}}\) ，即 \({\displaystyle {\begin{smallmatrix}F'=f\end{smallmatrix}}}\)。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。 \[{\displaystyle {\begin{matrix}\int f(x)dx=F(x)+C\end{matrix}}}\] 其中 \({\displaystyle {\begin{smallmatrix}F\end{smallmatrix}}}\) 是 \({\displaystyle {\begin{smallmatrix}f\end{smallmatrix}}}\) 的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

高斯积分（概率积分）：
在正态分布中用到！
高斯积分（Gaussian integral），有时也被称为概率积分，是高斯函数\({\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}\) 的积分。它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。 \[{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}} \] 高斯积分在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用。在误差函数的定义中它也出现。虽然误差函数没有初等函数，但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解。

分部积分:
在传统的微积分教材里分部积分法通常写成不定积分形式： \[{\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx,}\] 如果更简单些，令 \({\displaystyle u=f(x)}、 {\displaystyle v=g(x)}\) ，微分 \({\displaystyle {\rm {d}}u=f'(x){\rm {d}}x}\) 和\({\displaystyle {\rm {d}}v=g'(x){\rm {d}}x}\) ，就可以得到更常见到的形式： \[{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du} \] 注意，上面的原式中含有g的导数；在使用这个规则时必须先找到不定积分g，并且积分\({\displaystyle \int gf'{\rm {d}}x}\) 必须是可积的。在级数的离散分析中也可以用到类似的公式表达，称为分部求和。

9、对数函数

对数函数的引入 ln1=0；因为在0点函数是发散的，所以限制自变量仅考虑为正数的情况。\[ \] 性质: \[ \begin{align*} &{\displaystyle \ln(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0\,} \\ \\ &{\displaystyle \ln(-1)=i\pi \,} \\ \\ &{\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\,} \\ \\ &{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,} \\ \\ &{\displaystyle \ln(x^{y})=y\,\ln(x)\,} \\ \\ &{\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln(x)\leq x-1\quad {\rm {for}}\quad x>0\,} \\ \\ &{\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\rm {for}}\quad x\geq 0,\alpha \geq 1\,} \end{align*} \] 自然对数的导数性质导致了ln(1 + x)在0处的泰勒级数，也叫做麦卡托级数： \[{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots } \] 对于所有 \({\displaystyle \left|x\right|\leq 1,}\) 但不包括x = -1.

10、指数函数

expx函数的定义是对数函数的反函数！ 指数函数的导数是它本身。
e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时被称为欧拉数（Euler's number），以瑞士数学家欧拉命名；e = 2.71828182845904523536...
e 是无理数和超越数,这是第一个获证为超越数的数，而非故意构造的。就像圆周率 \({\displaystyle {\begin{smallmatrix}\pi\end{smallmatrix}}}\) 和虚数单位 i，e 是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义，下面列出一部分。
最常见的四种 e 的定义如下

定义 e 为下列极限值： \[{\displaystyle e =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} \]
定义 e 为下列无穷级数之和： \[{\displaystyle e =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots } \]
定义 e 为唯一的正数 x 使得 \[{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}} \]
定义 e 为唯一的实数 x 使得 \[{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1} \]

这些定义可证明是等价的，请参见文章指数函数的特征描述。

性质
很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数\({\displaystyle e^{x}}\) 的重要性，在于它是唯一的函数（零多项式函数除外）与自身导数相等（乘以常数，最一般的函数形式为\({\displaystyle ke^{x}}\) ，k为任意常数）。即: \[{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}\] 指数函数\({\displaystyle e^{x}}\) 的泰勒级数为 \[{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+... \quad \forall x}\] x为复数时依然成立，因此根据\({\displaystyle \sin x}\) 及 \({\displaystyle \cos x}\) 的泰勒级数，得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式： \[{\displaystyle e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x\,\!}\] 当 \({\displaystyle x=\pi }\) 的特例是欧拉恒等式：

\[{\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,\!}\]

此式被理查德·费曼称为“欧拉的宝石”。

11、泰勒级数

把函数和幂级数关联起来。 几个常用的泰勒级数：

下面我们给出了几个重要的泰勒级数。参数x 为复数时它们依然成立。

几何级数： \[{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<1}\] 二项式定理： \[(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }C(\alpha ,n)x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<1,\forall \alpha \in \mathbb {C} \] 二项式展开中的C(α,n)是二项式系数。指数函数和自然对数： \[e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x\] \[{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad \forall x\in (-1,1]} \] 三角函数： \[{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad \forall x}\] \[{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad \forall x} \]

12、π与分析学观点下的三角学

π的表达式： \[ \begin{align*} \frac{\pi}{4}&=1- \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots (Leibniz定理) \\ \frac{\pi^2}{6}&= \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots \end{align*} \]

13、傅里叶级数

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