芝诺悖论

芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）（盛年约在公元前464-前461）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证其中最著名的两个是：“阿基里斯追乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释。

运动是不可能的。
由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。
这里的“运动”不是距离的概念，而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及到时间。从A到B的运动如果发生在无限长的时间内，那么悖论就为真，因为此时速度为0。
速度这个概念虽然可以被表示为距离除以时间，但是速度是一个自然界的固有概念，并不依赖于时间和距离。所以庄子的万世不竭反倒成为一个真实的叙述，而不是悖论。
“动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。”——亚里士多德，物理学 VI:9, 239b15
如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999..., 1-0.999...>0”思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999..., 但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0, 或1-0.999...>0”思想。
譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。追乌龟要涉及到极限问题： 而极限是个无限过程，这涉及到潜无限问题，即无限过程无法完成，即1只能无限逼近，不能达到1，乌龟是不能被追上的。为此，潜无限只能假设空间不可以无限分割，这样悖论就不存在了。但实无限认为，无限过程可以完成，即极限可以达到1，乌龟可以追上。现在的实数，极限，微积分都建立在实无限上。对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近。
P.S.目前数学界有"0.9999999999.......=1"之证明如下
pf: 令 S=0.99999999999.......--❶
則10S=9.9999999999.......--❷
❷-❶ 10S-S=9.9999999999...........-0.999999999..........
9S=9
S＝1
故得証0.9999999.........=1
悖论的解决
理论说得令人头头是道，但为何实际却不是如此? 原因见下。
不妨令阿基里斯步行的速度为每秒10m, 乌龟爬行的速度为每秒0.1m, 并且在比赛之前, 阿基里斯让乌龟先爬999m, 在这种条件下, 阿基里斯追赶乌龟所用的时间为:
999 ÷ 10 = 99.9秒
(99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
(0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
· · · · · ·
这些数字, 按其先后排列, 可以构成一个无限序列:
99.9, 0.999, 0.00999, · · ·

其和為:S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒
所以其实阿基里斯只要跑101秒，即可超越乌龟。换个角度说，阿基里斯之所以追不上乌龟，原因在题目的背面已经限制了阿基米斯追赶的时间。