数学在自然科学中不合理的有效性
数学在自然科学中不合理的有效性
THE UNREASONABLE EFFECTIVENSS OF MATHEMATICS IN THE NATURAL SCIENCES
个人注：这篇文章太有洞察力了。1960年的文章。
尤金·维格纳 (Eugene Wigner)
正确看待数学，不仅能看到真理，还能看到至高无上的美——一种冷峻而严肃的美，正如雕塑一样，不诉诸我们天性中任何虚弱的部分，没有绘画或音乐那些华丽的装饰，却庄严纯洁，能够达到只有最伟大的艺术才能展现的严峻完美。 那种真正的喜悦、狂喜，那种超越凡人的感觉——这正是最高卓越的试金石——在数学中能像在诗歌中一样肯定地被找到。 —— 伯特兰·罗素，《数学的研究》
Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as in poetry.
有一个关于两个朋友的故事，他们是高中同学，正在聊各自的工作 。其中一个成了统计学家，从事人口趋势研究 。他给老同学看了一篇论文复印件 。复印件照例以高斯分布开头，统计学家向老同学解释了代表实际人口、平均人口等符号的含义 。他的同学有些怀疑，不太确定统计学家是否在开玩笑 。“你怎么可能知道这些？”他问道 。“还有这个符号是什么？” “噢，”统计学家说，“这是 \(\pi\)。” “那是什么？” “圆周长与其直径的比值。” “好吧，现在你这玩笑开得太过分了，”老同学说，“人口肯定跟圆的周长没有任何关系。”
当然，我们倾向于嘲笑这位同学思维的简单 。然而，当我听到这个故事时，我不得不承认有一种怪异的感觉，因为这位同学的反应确实只表现出了朴素的常识 。没过几天，当有人向我表达他的困惑时，我更加迷茫了 （这段话是 F. 维纳在普林斯顿当学生时说的 ）：事实上，我们在选择测试理论的数据时，选择范围相当狭窄 。“如果我们建立一套理论，关注那些被我们忽视的现象，而忽视那些现在备受关注的现象，我们怎么知道不能建立另一套与现状几乎没有共同点、却能解释同样多现象的理论呢？” 必须承认，我们确实没有确凿证据证明不存在这样的理论 。
上述两个故事说明了本次论述的两个主旨 。第一点是数学概念会出现在完全出人意料的关联中 。此外，它们通常能对这些关联中的现象提供出人意料的严谨且精确的描述 。第二点，正因为这种情况，也因为我们不理解其有效性的原因，我们无法知晓以数学概念表述的理论是否是唯一适用的 。我们的处境就像一个拿着一串钥匙的人，他必须连续打开几扇门，而他总能在第一或第二次尝试时就撞上正确的钥匙 。他开始对钥匙与门之间对应关系的唯一性产生怀疑 。
关于这些问题的大部分论述并不新颖，大多数科学家可能都以某种形式思考过 。我的主要目标是从多个方面阐明它 。第一点是，数学在自然科学中的巨大效用近乎神秘，且没有理性的解释 。第二点，正是数学概念这种不可思议的效用，引发了关于物理理论唯一性的疑问 。为了确立第一点，即数学在物理学中发挥着不合理的重要作用，我们将简要讨论“什么是数学？”、“什么是物理学？”、数学如何进入物理理论，以及最后，为什么数学在物理学中的成功显得如此令人费解 。对于第二点，即物理理论的唯一性，则讨论得要少得多 。要对这个问题给出妥当的回答，需要进行复杂的实验和理论工作，而这些工作至今尚未开展 。
什么是数学？
曾有人说，哲学是对一套专门为此目的而发明的术语的误用。（这句话引用自 W. Dubislav 的《当代数学哲学》，柏林：Junker and Dunnhaupt 出版社，1932年，第1页。）依此类推，我会说，数学是运用专门为此目的而发明的概念和规则进行灵巧操作的科学。
其核心重点在于概念的发明。如果有趣的定理必须完全用公理中已有的概念来表述，数学很快就会无题可做。此外，虽然初等数学（尤其是初等几何）的概念确实是为了描述现实世界直接提示的实体而制定的，但这对于更高级的概念——尤其是那些在物理学中起着重要作用的概念——似乎并不成立。
例如：
- 数对（pairs of numbers）的操作规则：显然是为了得出与我们在不涉及“数对”概念时所学的分数运算相同的结果。
- 数列的操作规则（即无理数）：仍属于为了重现我们已知的量值运算规则而确定的规则范畴。
然而，大多数更高级的数学概念，如复数、代数、线性算子、波莱尔集（complex numbers, algebras, linear operators, Borel sets ）（这个清单几乎可以无限延伸），其设计初衷是为了让数学家能够展示其聪明才智和形式美感。事实上，定义这些概念并意识到可以将有趣且巧妙的思考应用于其上，正是定义它们的数学家聪明才智的第一步体现。构建数学概念时思想的深度，随后由使用这些概念的技巧来证明其合理性。
伟大的数学家会充分地、几乎是无情地开发一切被允许的推理领域，并游走在禁区的边缘。他的这种“鲁莽”竟然没有让他陷入矛盾的泥潭，这本身就是一个奇迹：确实很难相信，人类的推理能力是通过达尔文的自然选择过程进化到了目前这种似乎拥有的完美程度。
不过，这并非我们目前的主题。 稍后需要回顾的关键点是：
- 如果不定义公理之外的概念，数学家只能制定出极少数有趣的定理。
- 这些公理之外的概念，是为了允许巧妙的逻辑操作而定义的。
- 这些操作本身及其具有高度普遍性和简洁性的结果，都能诉诸我们的审美感官。
（迈克尔·波兰尼在他的《个人知识》中写道：“所有这些困难，都是因为我们拒绝看到：如果不承认数学最显著的特征——即它是令人感兴趣的，就无法定义数学。”）
复数为上述观点提供了一个特别引人注目的例子。显然，我们的经验中没有任何东西暗示要引入这些量。事实上，如果要求一位数学家证明他对复数的兴趣是合理的，他会带着些许愤慨指向方程论、幂级数以及广义解析函数论中许多优美的定理，这些定理都源于复数的引入。数学家绝不愿放弃对他天才成就中最优美部分的兴趣。（读者可能会对希尔伯特关于直觉主义的急躁评论感兴趣，他认为直觉主义“试图分裂并毁坏数学”。）
什么是物理学？
物理学家的兴趣在于发现非生物界的自然规律。为了理解这一表述，有必要对“自然规律”这一概念进行分析。
我们周围的世界极其复杂，令人费解，而关于它最显而易见的事实就是我们无法预测未来。尽管有个笑话把“未来是不确定的”这一观点仅仅归于乐观主义者，但在这件事上乐观主义者是对的：未来确实是不可预测的。正如薛定谔所言，尽管世界如此复杂，但竟然能发现事件中的某些规律性，这本身就是一个奇迹。伽利略发现的一个规律就是：两个岩石如果同时从同一高度落下，会同时着地。自然规律关注的就是这类规律性。伽利略发现的规律是这一大类规律性的原型。
这一规律之所以令人惊讶，有三个原因。
第一个原因在于，它不仅在比萨有效，也不仅在伽利略时代有效，它在地球上的任何地方都有效，在过去一直有效，在未来也永远有效。规律的这种属性被公认为“不变性”（invariance）。正如我前段时间有机会指出的那样，如果没有类似于上述伽利略观察中所蕴含的普遍化不变性原理，物理学将是不可能的。
第二个令人惊讶的特征是，我们讨论的这种规律性独立于许多可能产生影响的条件。无论是否下雨，无论实验是在房间里还是在斜塔上进行，无论扔下岩石的是男人还是女人，它都有效。即使这两个岩石是由两个不同的人在同一高度同时扔下的，它依然有效。显然，还有无数其他条件从伽利略规律有效性的角度来看都是无关紧要的。如此多可能在观察现象中起作用的环境因素都变得无关紧要，这也被称为一种“不变性”。然而，这种不变性与前一种具有不同的性质，因为它无法被系统地表述为一条普遍原理。探索哪些条件会影响现象、哪些不会，是某一领域早期实验探索的一部分。实验学家的技巧和聪明才智就在于，他能向我们展示那些仅取决于相对较窄、且相对容易实现和重复的条件的现象。（关于这一点，请参阅 M. Deutsch 的生动文章。A. Shimony 也提醒我，在 C. S. 皮尔斯的《科学哲学论文集》中也有类似的段落。）就本例而言，伽利略将其观察限制在较重的物体上，是这方面最重要的步骤。同样，如果没有任何现象能够独立于绝大多数条件（只受极少数可控条件影响），物理学也将是不可能的。
上述两点虽然从哲学家的角度来看意义重大，但并不是最令伽利略感到惊讶的，也不包含具体的自然规律。自然规律蕴含在这样一个陈述中：重物从给定高度落下所需的时间，与该物体的尺寸、材质和形状无关。在牛顿第二定律的框架下，这等同于说：作用在下落物体上的万有引力与其质量成正比，但与该物体的尺寸、材质和形状无关。
前文的讨论旨在提醒我们，首先，“自然规律”的存在根本就不是理所当然的，人类能够发现它们则更不是理所当然的。[埃尔温·薛定谔在其《生命是什么？》一书中曾指出，这第二个奇迹很可能超出了人类的理解能力。] 本文作者曾在一段时间以前提请人们注意“自然规律”的层级演进——每一层都包含比前一层更普遍、更广泛的规律，而每一层规律的发现都构成了比之前所认知的层级对宇宙结构更深层次的洞察。然而，在当前背景下最重要的意义在于，所有这些自然规律，即使是它们最遥远的推论，也仅包含了我们对非生物世界知识的一小部分。所有的自然规律都是条件性陈述，允许在了解现状的基础上对未来的某些事件做出预测，但在实践中，现状的某些方面——实际上是现状中绝大多数的决定因素——从预测的角度来看都是无关紧要的。这种“无关紧要”的含义，正是前文讨论伽利略定理时所提到的第二点。[作者确信无需赘述，文中给出的伽利略定理并未穷尽伽利略关于自由落体规律观察的全部内容。]
至于世界的现状，例如我们所居住且进行伽利略实验的地球的存在，太阳以及我们周围一切事物的存在，自然规律对此完全保持沉默。与此相一致的是：首先，自然规律仅在例外情况下才能被用于预测未来事件——即当现状中所有相关的决定因素都已知时。同样与之相一致的是，制造出功能可预见的机器构成了物理学家最壮观的成就。在这些机器中，物理学家创造了一种所有相关坐标均为已知的环境，从而使机器的行为可以被预测。雷达和核反应堆就是这类机器的例子。
前文讨论的主要目的是指出，自然规律全部都是条件性陈述，且它们仅涉及我们对世界认知中极小的一部分。例如，作为物理理论最著名原型的经典力学，是在已知所有物体位置等信息的基础上，给出这些物体位置坐标对时间的二阶导数。它并不提供关于这些物体是否存在、当前位置或速度的信息。为了严谨起见，应当提到，我们在大约三十年前发现，即使是这些条件性陈述也不可能完全精确：条件性陈述其实是概率定律，它们仅使我们能够基于对现状的了解，对非生物世界的未来属性进行“理性的投注”。它们不允许我们做出绝对的陈述，甚至不允许做出以世界现状为条件的绝对陈述。“自然规律”的概率性质在机器中也有所体现，并且至少在核反应堆的案例中，如果人们以极低功率运行它们，这一点是可以得到验证的。然而，由概率性质导致的对自然规律范畴的额外限制，在随后的讨论中将不再涉及。
数学在物理理论中的作用
在回顾了数学和物理学的本质之后，我们现在应该能够更好地审视数学在物理理论中所扮演的角色。
自然地，我们在日常物理学中使用数学来评估自然规律的结果，将那些“条件性陈述”应用于恰好普遍存在或我们恰好感兴趣的特定条件中。为了使这一点成为可能，自然规律必须已经用数学语言表述出来。然而，评估既有理论之推论的角色，并不是数学在物理学中最核心的作用。在这种功能下，数学（或者更确切地说是应用数学）与其说是局面的主宰，不如说仅仅充当了一种工具。
然而，数学在物理学中确实也扮演着更为独立自主（sovereign）的角色。这一点在讨论应用数学的作用时已经有所暗示：自然规律必须先用数学语言表述，才能成为应用数学的操作对象。关于“自然规律是用数学语言写成的”这一断言在三百年前（归功于伽利略）就已经被恰当地提出了；而现在，这一断言比以往任何时候都更加正确。为了展示数学概念在构建物理定律时的重要性，让我们以伟大物理学家狄拉克（Dirac）明确阐述的量子力学公理为例。量子力学有两个基本概念：状态（states）和观察量（observables）。状态是希尔伯特空间中的矢量，观察量则是作用于这些矢量上的自伴算子。观察的可能取值是这些算子的特征值——但我们最好到此为止，以免陷入对线性算子理论中各种数学概念的罗列。
当然，物理学确实选择了某些特定的数学概念来表述自然规律，而且肯定只有一小部分数学概念被用于物理学。同样事实的是，所选用的概念并非从数学术语表中随意挑选，而在许多（如果不是大多数）情况下，是由物理学家独立开发出来，随后才意识到数学家早已构思出了这些概念。然而，有一种经常被提及的说法是不正确的：即认为这种情况必然发生是因为数学使用了最简单的概念，而这些概念注定会出现在任何形式体系中。正如我们之前所见，数学概念的选择并非因为其概念上的简单性——即使是“数对的序列”也远非最简单的概念——而是因为它们易于进行巧妙的操作，并能引出引人入胜、精辟绝伦的论证。我们不要忘记，量子力学中的希尔伯特空间是具有埃尔米特（Hermitean）标量积的复希尔伯特空间。对于一个没有先入之见的人来说，复数绝非自然或简单，物理观察也无法直接提示它们的存在。此外，在这种情况下，复数的使用并非应用数学中的一种计算技巧，它在量子力学定律的表述中几乎是一种必然。最后，现在看来不仅是复数，所谓的解析函数也注定要在量子理论的表述中发挥决定性作用。我指的正是在迅速发展的色散关系理论。
我们很难避免这样一种印象：这里存在着一个奇迹。其令人惊叹的程度，足以与“人类心智能够将上千个论证串联在一起而不陷入矛盾”的奇迹，或者与“自然规律的存在”以及“人类心智感知它们的能力”这两大奇迹相媲美。在我所知的解释中，最接近“数学概念为何会在物理学中浮现”这一现象的，是爱因斯坦的断言：我们唯一愿意接受的物理理论必须是优美的。可以论证的是，那些诱发了如此多智慧探索的数学概念，本身就具备美的品质。然而，爱因斯坦的观察至多只能解释我们“愿意相信”的理论所具有的属性，而与理论的“内在准确性”无关。因此，我们将转向后一个问题。
物理理论的成功真的令人惊讶吗？
对于物理学家使用数学来表述自然规律，一种可能的解释是：物理学家在某种程度上是个“不负责任”的人。结果就是，当他发现两个量之间的关联类似于数学中某个著名的关联时，他会立即跳到结论，认为这种关联就是数学中所讨论的那种，仅仅是因为他不知道任何其他类似的关联。本文并不打算反驳“物理学家是不负责任的人”这一指控。也许他确实是。然而，必须指出的是：物理学家将往往粗糙的经验进行数学化表述，竟然在多到不可思议的情况下，对一大类现象提供了极其精确的描述。这表明，数学语言之所以值得推崇，不仅仅因为它是我们唯一能说的语言，而是因为它在某种真实意义上就是那门“正确的语言”。让我们考虑几个例子。
第一个例子是常被引用的行星运动。落体定律的确立主要归功于在意大利进行的实验。由于空气阻力的影响，以及当时无法测量微小的时间间隔，这些实验在我们今天理解的意义上并不十分精确。尽管如此，意大利自然科学家通过研究，对物体在空气中运动的方式产生了一种直觉上的熟悉，这并不奇怪。随后是牛顿，他将自由落体定律与月球运动联系起来，注意到地面上抛石路径的抛物线和天空中月球轨道的圆形，其实都是同一种数学对象——椭圆——的特殊情况；他仅凭一个在当时看来非常近似的数值巧合，就假设了万有引力定律。从哲学上讲，牛顿表述的引力定律对他那个时代和他本人来说都是令人厌恶的（超距作用）。从经验上讲，它基于非常贫乏的观察。表述它的数学语言包含了“二阶导数”的概念，而我们中任何尝试过给曲线画密切圆的人都知道，二阶导数并不是一个非常直觉的概念。牛顿极不情愿地建立起这套引力定律，且当时他只能验证约 4% 的准确度，但后来证明其准确度优于千万分之一，并与“绝对精确”的概念紧密联系在一起，直到最近物理学家才重新大胆地开始探究其精确性的极限。当然，牛顿定律这个被反复引用的例子，必须作为这一论点的首要丰碑：一个用数学家看来简单的术语表述的定律，其证明出的准确度超出了所有合理的预期。让我们用这个例子重申一下我们的论点：首先，这个定律——尤其是因为出现了二阶导数——只对数学家而言是简单的，对常识或非数学思维的大一新生来说并非如此；其次，它是一个范畴非常有限的条件性定律。它解释不了吸引伽利略岩石的地球，解释不了月球轨道的圆形，也解释不了太阳系的行星。这些初始条件的解释被留给了地质学家和天文学家，而他们对此感到非常棘手。
第二个例子是普通初等量子力学。它起源于马克斯·玻恩（Max Born）注意到海森堡给出的一些计算规则，在形式上与数学家很久以前建立的矩阵计算规则完全一致。于是，玻恩、约尔丹和海森堡提议用矩阵取代经典力学方程中的位置和动量变量。他们将矩阵力学的规则应用于几个高度理想化的问题，结果非常令人满意。然而，当时并没有理性的证据表明他们的矩阵力学在更现实的条件下也会被证明是正确的。事实上，他们当时说的是：“如果这里提出的力学在基本特征上已经是正确的话。” 几个月后，泡利（Pauli）才首次将这套力学应用于现实问题——氢原子。这一应用给出了与经验一致的结果。这令人满意但仍可理解，因为海森堡的计算规则本就是从包含旧氢原子理论的问题中抽象出来的。
奇迹发生在矩阵力学（或数学上等价的理论）被应用于那些海森堡计算规则原本毫无意义的问题时。海森堡的规则预设了经典运动方程具有某些周期性特性的解；而氦原子的两个电子，或者更重原子的更多电子的运动方程，根本不具备这些特性，因此海森堡的规则无法应用于这些情况。然而，由康奈尔大学的木下（Kinoshita）和标准局的巴兹利（Bazley）计算出的氦原子最低能级，与实验数据的吻合度达到了观察精度的极限，即千万分之一。显然，在这种情况下，我们从方程中“得到”了我们原本并没有投入进去的东西。
对于“复杂光谱”（即重原子的光谱）的定性特征也是如此。我想起与约尔丹的一次对话，他告诉我，当光谱的定性特征被推导出来时，如果量子力学理论推导出的规则与经验研究确立的规则不符，那将是修改矩阵力学框架的最后机会。换句话说，约尔丹觉得如果氦原子理论出现了意想不到的分歧，我们至少会暂时陷入束手无策。当时的理论是由凯尔纳（Kellner）和希勒拉斯（Hylleraas）开发的。数学形式体系太宝贵且不可更改，因此，如果前面提到的氦原子奇迹没有发生，将会出现真正的危机。当然，物理学总会以某种方式克服危机。但另一方面，如果没有像氦原子奇迹这样不断循环发生的奇迹，我们今天所知的物理学将是不可能的。氦原子奇迹或许是初等量子力学发展过程中最引人注目的奇迹，但绝非唯一的一个。事实上，在我们看来，这类奇迹的数量仅受限于我们去追求更多相似奇迹的意愿。尽管如此，量子力学拥有许多几乎同样惊人的成功，这使我们坚信它是所谓的“正确”。
最后一个例子是量子电动力学，即兰姆移位（Lamb shift）理论。如果说牛顿的引力理论与经验仍有明显的联系，那么经验进入矩阵力学的表述时，已经变成了海森堡处方中那种提纯或升华的形式。而由贝特（Bethe）构思、施温格（Schwinger）确立的兰姆移位量子理论，是一个纯粹的数学理论，实验唯一的直接贡献是显示了某种可测量效应的存在。其与计算的吻合度优于千分之一。
上述三个例子（几乎可以无限增加）旨在说明：使用为了易于操作而选择的概念对自然规律进行数学表述，是具有恰当性和准确性的；这些“自然规律”具有近乎梦幻的准确性，但范畴却严格受限。我提议将这些例子所说明的观察称为认识论的经验定律。它与物理理论的不变性定律一起，构成了这些理论不可或缺的基础。没有不变性定律，物理理论就无法建立在事实的基础上；如果认识论的经验定律不正确，我们将失去作为情感必需的鼓励和宽慰，而没有这些，我们就无法成功地探索“自然规律”。我曾与 R. G. 萨克斯（R. G. Sachs）讨论过认识论的经验定律，他称之为理论物理学家的“信仰条款”，事实也确实如此。 然而，他所谓的信仰条款可以得到实际例子的有力支持——除了提到的三个，还有更多例子。
物理理论的唯一性
在我看来，前述观察结果的经验性质是显而易见的。它肯定不是一种“思想的必然性”；而且为了证明这一点，似乎也没必要非得指出它仅适用于我们对非生物世界认知的极小部分。既然对于位置本身或速度并不存在类似的数学简单表达式，那么相信“位置对时间的二阶导数存在数学上简单的表达式”是自明的，显然是荒谬的。因此，令人惊讶的是，人们竟然如此轻易地将“认识论经验定律”中所包含的奇妙天赋视为理所当然。前文提到的“人类心智能够形成一串上千个推论且依然保持正确”的能力，也是类似的天赋。
每一条经验定律都有其令人不安的一面。我们不知道所有这些将被发现的“自然规律”最终是会融合成一个单一的自洽整体，还是至少在渐进地趋向这种融合。或者，也有可能始终存在一些彼此之间毫无共同之处的自然规律。目前来看，例如遗传定律与物理定律之间确实就是这种情况。甚至有可能某些自然规律在推论上是相互冲突的，但每条规律在各自的领域内都足够有说服力，以至于我们不愿放弃其中任何一个。我们可能会屈从于这种局面，或者我们澄清各种理论之间冲突的兴趣可能会逐渐淡化。我们可能会对“终极真理”失去兴趣，即不再追求将观察自然各个方面所形成的“小图景”融合成一个自洽的单一“大图景”。
用一个例子来阐明这些替代方案或许是有用的。目前在物理学中，我们有两套极其强大且有趣的理论：量子现象理论和相对论。这两套理论根植于互不相容的两组现象。相对论适用于宏观物体，如恒星。“重合事件”（即碰撞的终极分析）是相对论中的原始事件，并定义了时空中的一个点——或者至少如果碰撞粒子无限小的话，它会定义一个点。而量子理论根植于微观世界，从它的观点来看，即使是发生在没有空间延展的粒子之间的“重合”或“碰撞”事件，也并非原始事件，且在时空中完全不是清晰孤立的。这两套理论运行在不同的数学概念之上——分别是四维黎曼空间和无限维希尔伯特空间。到目前为止，这两套理论还无法统一，也就是说，不存在一个能让这两套理论都作为其近似表现的数学表述。所有物理学家都相信，两套理论的统一在本质上是可能的，我们终将找到它。然而，同样可以想象，我们可能永远找不到这两套理论的统一体。这个例子说明了前文提到的“统一”与“冲突”这两种可能性，两者都是可以想象的。
为了获得关于最终该期待哪种结果的启示，我们可以假装比现在更无知一点，将自己置于比实际拥有水平更低的知识阶层。如果我们能在这种较低的智力水平上找到理论的融合，那么我们可以满怀信心地期待，在我们真实的智力水平上也能找到理论的融合。另一方面，如果我们发现在稍低水平的知识层面上得出了相互矛盾的理论，那么对我们自身而言，冲突理论永久存在的可能性也就无法排除了。知识和机敏的程度是一个连续变量，这个连续变量的微小变化不太可能使可获得的“世界图景”从不自洽变为自洽。（这段话是在极大的犹豫之后写下的。作者确信，在认识论讨论中，放弃“人类智力水平在绝对量表上处于特殊地位”这种理想化假设是有益的。在某些情况下，考虑其他物种智力水平所能达到的成就甚至也是有用的。然而，作者也意识到，他在文中指示的这一思路上的思考过于简略，未经足够的批判性评价，因而是不可靠的。）
从这个角度来看，一些我们明知是“错误”的理论却能给出如此惊人准确的结果，这是一个不利因素。如果我们知识稍欠缺一点，这些“错误”理论所解释的现象群在我们看来就显得足够庞大，足以“证明”这些理论。然而，我们之所以认为这些理论是“错误”的，恰恰是因为在终极分析中，它们与更宏大的图景不相容；而且，如果发现了足够多这类错误理论，它们注定也会被证明是相互冲突的。同样，也有可能那些被我们认为已被大量数值吻合所“证明”的理论，其实也是错误的，因为它们与一个更宏大但超出了我们发现能力的潜在理论相冲突。如果真是这样，一旦理论的数量增长到超过某一点，且覆盖了足够多的现象群，我们就不得不预料到理论之间会出现冲突。与前述理论物理学家的“信仰条款”相反，这便是理论家的“噩梦”。
让我们考虑几个“错误”理论的例子，考虑到它们的错误性，它们对现象群的描述准确得令人心惊。若带点善意，人们可以无视这些例子提供的一些证据。玻恩早期关于原子的先驱性思想，其成功范畴始终相当狭窄，托勒密的本轮学说也是如此。我们现在的视角可以对这些原始理论所能描述的所有现象给出精确描述。但对于所谓的“自由电子理论”来说，情况就不再如此了。该理论对金属、半导体和绝缘体的许多（如果不是大多数）特性给出了异常精确的图景。特别是，它解释了一个在“真实理论”基础上从未被妥善理解的事实：绝缘体表现出的电阻可能比金属大 \(10^{26}\) 倍。事实上，没有任何实验证据表明，在自由电子理论预期会出现无限大电阻的条件下，电阻值不是无限大的。尽管如此，我们依然深信自由电子理论只是一个粗糙的近似，在描述所有关于固体的现象时，它应当被更准确的图景所取代。
如果从我们真实的视角来看，自由电子理论呈现出的状况虽然令人恼火，但不太可能预示任何对我们而言无法逾越的不自洽。自由电子理论引发了我们的疑虑：我们究竟应该在多大程度上信任理论与实验之间的数值吻合，并将其作为理论正确性的证据？我们已经习惯了这种疑虑。
如果有一天，我们能建立起一套关于意识现象或生物学的理论，且这套理论像我们目前的非生物世界理论一样连贯且有说服力，那么更困难、更混乱的局面就会出现。就生物学而言，孟德尔的遗传定律以及随后关于基因的研究，很可能构成了这样一套理论的开端。此外，很可能可以找到一种抽象论证，表明这样一套理论与公认的物理学原理之间存在冲突。这种论证可能是高度抽象的，以至于无法通过实验来化解冲突（即判定哪一方理论胜出）。这种情况将严重考验我们对理论的信心以及对我们所构建概念之真实性的信仰。它会在我们寻找所谓的“终极真理”的过程中带来深重的挫败感。之所以这种局面是可以想象的，是因为从根本上说，我们并不知道为什么我们的理论运作得如此之好。因此，它们的准确性可能并不能证明其真理性和自洽性。事实上，本文作者认为，如果将目前的遗传定律与物理定律相对照，某种与上述描述相当接近的情况确实已经存在。
让我以一个更乐观的基调结束。数学语言在表述物理定律时的恰当性是一个奇迹，它是我们既不理解也不应得的奇妙天赋。我们应当感激它，并希望它在未来的研究中继续有效；也希望它能扩展到广阔的知识领域，无论带给我们的是快乐还是困惑，也不论其结果是好是坏。