广义线性模型（GLM）和广义可加模型（GAM）区别

广义线性模型（GLM）和广义可加模型（GAM）都是用于回归分析的统计模型，它们都扩展了线性回归的能力，但在建模方式上有关键的不同。下面是它们的区别和联系：

一句话区别：

• GLM 假设：响应变量是一组解释变量的线性组合（经过变换）。
• GAM 假设：响应变量是一组解释变量的非线性函数之和（经过变换）。

广义线性模型（GLM）

基本形式：

\[ g(\mathbb{E}[Y]) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots + \beta_p x_p \]

• \(Y\)：响应变量（可以是非正态分布，如二项、泊松等）
• \(x_i\)：解释变量（特征）
• \(g(\cdot)\)：链接函数（如 logit、log、identity 等）
• 模型对解释变量是线性加权组合的

常见的 GLM 实例：

• 线性回归：\(g(y) = y\)
• 逻辑回归：\(g(p) = \log\left(\frac{p}{1-p}\right)\)
• 泊松回归：\(g(\mu) = \log(\mu)\)

广义可加模型（GAM）

基本形式：

\[ g(\mathbb{E}[Y]) = \beta_0 + f_1(x_1) + f_2(x_2) + \dots + f_p(x_p) \]

• 这里的 \(f_i(x_i)\)：未知的非线性平滑函数，通常用样条（splines）估计
• 每个解释变量的作用可以是非线性的，但函数之间仍然是加性组合
• 可以看作是 GLM 的非线性扩展

对比表格

特征	GLM	GAM
模型结构	线性组合：\(\beta_1 x_1 + \beta_2 x_2\)	非线性函数和：\(f_1(x_1) + f_2(x_2)\)
特征对响应的关系	线性（在链接函数作用下）	非线性
链接函数	有	有
灵活性	较低	更高（可适应更复杂的数据结构）
可解释性	好	一般，非线性函数较难解释
拟合方法	最大似然估计	平滑回归 + 最大似然

举个例子：

预测工资（Salary）

GLM（如线性回归）：

\[ \log(\text{Salary}) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{Age} + \beta_2 \cdot \text{Education} \]

假设年龄和教育对薪资的影响是线性的。

GAM：

\[ \log(\text{Salary}) = \beta_0 + f_1(\text{Age}) + f_2(\text{Education}) \]

允许年龄对薪资影响是“非线性”的，比如工资在 40 岁左右达到峰值。

总结：

项目	GLM	GAM
建模方式	线性关系	非线性加性关系
灵活性	一般	高（可处理非线性）
适合场景	关系近似线性的情况	变量与响应变量关系复杂、非线性的情况